Exercicis de teoria de Galois

El grau de l'extensió és $8$.

És de Galois (normal i separable, i en característica zero la separabilitat és automàtica), de manera que l'ordre del grup coincideix amb el grau:

$|\operatorname{Gal}| = 8$

Cada generador es pot enviar a qualsevol de les arrels conjugades, i totes hi són.

La lliçó. Grau i ordre del grup coincideixen només en extensions de Galois. Quan no coincideixen, el que falla és la normalitat: hi ha un polinomi irreductible amb una arrel dins però que no s'hi descompon del tot.

Com arreglar-ho: ampliar l'extensió fins al cos de descomposició complet, que sí que és de Galois.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $12$ són [1, 2, 3, 4, 6, 12].

$\#\text{cossos intermedis} = 6$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $12$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Per tant hi ha $4$ cossos intermedis propis, un per cada divisor de $12$ diferent d'$1$ i de $12$.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

Què és. El cos de descomposició és la menor extensió on el polinomi es factoritza completament en factors lineals. És sempre una extensió de Galois.

En aquest cas: el segon radical és el doble del primer: no aporta res de nou.

$[\text{cos de descomposició} : \mathbb{Q}] = 2$

El grup de Galois té, doncs, $2$ elements, perquè en una extensió de Galois l'ordre del grup coincideix amb el grau.

El parany més freqüent és comptar cada factor per separat i multiplicar. Cal comprovar si els radicals són independents: adjuntar l'arrel de dos ja et dona l'arrel de vuit, de divuit i de qualsevol múltiple per un quadrat perfecte. Quan això passa, el grau no puja.

El grau de l'extensió és $5$.

No és de Galois. El polinomi mínim té arrels complexes que no són dins d'aquesta extensió, que és real. Un automorfisme ha d'enviar el generador a una arrel del mateix polinomi que estigui dins del cos, i les opcions es redueixen dràsticament:

$|\operatorname{Aut}| = 1$

La lliçó. Grau i ordre del grup coincideixen només en extensions de Galois. Quan no coincideixen, el que falla és la normalitat: hi ha un polinomi irreductible amb una arrel dins però que no s'hi descompon del tot.

Com arreglar-ho: ampliar l'extensió fins al cos de descomposició complet, que sí que és de Galois.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $13$ són [1, 13].

$\#\text{cossos intermedis} = 2$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $13$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Com que $13$ és primer, només hi ha aquests dos: no hi ha cap cos intermedi propi. L'extensió és, en aquest sentit, indivisible.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

Què és. El cos de descomposició és la menor extensió on el polinomi es factoritza completament en factors lineals. És sempre una extensió de Galois.

En aquest cas: el segon radical és el doble del primer.

$[\text{cos de descomposició} : \mathbb{Q}] = 2$

El grup de Galois té, doncs, $2$ elements, perquè en una extensió de Galois l'ordre del grup coincideix amb el grau.

El parany més freqüent és comptar cada factor per separat i multiplicar. Cal comprovar si els radicals són independents: adjuntar l'arrel de dos ja et dona l'arrel de vuit, de divuit i de qualsevol múltiple per un quadrat perfecte. Quan això passa, el grau no puja.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $14$ són [1, 2, 7, 14].

$\#\text{cossos intermedis} = 4$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $14$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Per tant hi ha $2$ cossos intermedis propis, un per cada divisor de $14$ diferent d'$1$ i de $14$.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

Què és. El cos de descomposició és la menor extensió on el polinomi es factoritza completament en factors lineals. És sempre una extensió de Galois.

En aquest cas: el segon radical és el triple del primer.

$[\text{cos de descomposició} : \mathbb{Q}] = 2$

El grup de Galois té, doncs, $2$ elements, perquè en una extensió de Galois l'ordre del grup coincideix amb el grau.

El parany més freqüent és comptar cada factor per separat i multiplicar. Cal comprovar si els radicals són independents: adjuntar l'arrel de dos ja et dona l'arrel de vuit, de divuit i de qualsevol múltiple per un quadrat perfecte. Quan això passa, el grau no puja.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $15$ són [1, 3, 5, 15].

$\#\text{cossos intermedis} = 4$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $15$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Per tant hi ha $2$ cossos intermedis propis, un per cada divisor de $15$ diferent d'$1$ i de $15$.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

Què és. El cos de descomposició és la menor extensió on el polinomi es factoritza completament en factors lineals. És sempre una extensió de Galois.

En aquest cas: les dues arrels ja són racionals.

$[\text{cos de descomposició} : \mathbb{Q}] = 1$

Com que el grau val $1$, el polinomi ja es descompon sobre els racionals: no cal ampliar res i el grup de Galois és trivial.

El parany més freqüent és comptar cada factor per separat i multiplicar. Cal comprovar si els radicals són independents: adjuntar l'arrel de dos ja et dona l'arrel de vuit, de divuit i de qualsevol múltiple per un quadrat perfecte. Quan això passa, el grau no puja.