Exercicis de cossos i extensions

El polinomi mínim. El candidat natural és $x^{3} - 14$, que òbviament anul·la l'element i és mònic.

És irreductible? Sí, per Eisenstein: pren un primer que divideixi $14$ sense que el seu quadrat el divideixi. Aquest primer no divideix el coeficient líder (que és $1$), divideix tots els altres coeficients (que són zero excepte el terme independent) i el seu quadrat no divideix $14$.

Conclusió. El grau de l'extensió és el grau del polinomi mínim:

$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{14}) : \mathbb{Q}] = 3$

Una base és el conjunt de les potències de l'element des de la zero fins a la $2$, en total $3$ elements.

Una conseqüència útil. Per la fórmula de la torre, qualsevol element que visqui dins d'aquesta extensió ha de tenir grau que divideixi $3$. Això descarta immediatament moltes possibilitats sense fer cap càlcul.

La fórmula de la torre.

$[M:K] = [M:L]\cdot[L:K] = 4\cdot5 = 20$

Per què es multipliquen. Si prens una base del pis de baix i una del de dalt, els productes formen una base del conjunt. Hi ha $5$ elements a la primera i $4$ a la segona, o sigui $20$ productes.

El que permet fer. Aquesta fórmula converteix preguntes d'existència en divisibilitat. Si et preguntes si un cert element pot viure dins de $M$, mira si el seu grau divideix $20$; si no, la resposta és no, sense cap càlcul.

L'error clàssic és sumar els graus. Pensa-ho com a dimensions d'espais vectorials: quan encaixes estructures, les dimensions es multipliquen, igual que passa amb el producte cartesià.

El polinomi mínim. El candidat natural és $x^{3} - 15$, que òbviament anul·la l'element i és mònic.

És irreductible? Sí, per Eisenstein: pren un primer que divideixi $15$ sense que el seu quadrat el divideixi. Aquest primer no divideix el coeficient líder (que és $1$), divideix tots els altres coeficients (que són zero excepte el terme independent) i el seu quadrat no divideix $15$.

Conclusió. El grau de l'extensió és el grau del polinomi mínim:

$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{15}) : \mathbb{Q}] = 3$

Una base és el conjunt de les potències de l'element des de la zero fins a la $2$, en total $3$ elements.

Una conseqüència útil. Per la fórmula de la torre, qualsevol element que visqui dins d'aquesta extensió ha de tenir grau que divideixi $3$. Això descarta immediatament moltes possibilitats sense fer cap càlcul.

La fórmula de la torre.

$[M:K] = [M:L]\cdot[L:K] = 5\cdot5 = 25$

Per què es multipliquen. Si prens una base del pis de baix i una del de dalt, els productes formen una base del conjunt. Hi ha $5$ elements a la primera i $5$ a la segona, o sigui $25$ productes.

El que permet fer. Aquesta fórmula converteix preguntes d'existència en divisibilitat. Si et preguntes si un cert element pot viure dins de $M$, mira si el seu grau divideix $25$; si no, la resposta és no, sense cap càlcul.

L'error clàssic és sumar els graus. Pensa-ho com a dimensions d'espais vectorials: quan encaixes estructures, les dimensions es multipliquen, igual que passa amb el producte cartesià.

El polinomi mínim. El candidat natural és $x^{3} - 17$, que òbviament anul·la l'element i és mònic.

És irreductible? Sí, per Eisenstein: pren un primer que divideixi $17$ sense que el seu quadrat el divideixi. Aquest primer no divideix el coeficient líder (que és $1$), divideix tots els altres coeficients (que són zero excepte el terme independent) i el seu quadrat no divideix $17$.

Conclusió. El grau de l'extensió és el grau del polinomi mínim:

$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{17}) : \mathbb{Q}] = 3$

Una base és el conjunt de les potències de l'element des de la zero fins a la $2$, en total $3$ elements.

Una conseqüència útil. Per la fórmula de la torre, qualsevol element que visqui dins d'aquesta extensió ha de tenir grau que divideixi $3$. Això descarta immediatament moltes possibilitats sense fer cap càlcul.

La fórmula de la torre.

$[M:K] = [M:L]\cdot[L:K] = 6\cdot5 = 30$

Per què es multipliquen. Si prens una base del pis de baix i una del de dalt, els productes formen una base del conjunt. Hi ha $5$ elements a la primera i $6$ a la segona, o sigui $30$ productes.

El que permet fer. Aquesta fórmula converteix preguntes d'existència en divisibilitat. Si et preguntes si un cert element pot viure dins de $M$, mira si el seu grau divideix $30$; si no, la resposta és no, sense cap càlcul.

L'error clàssic és sumar els graus. Pensa-ho com a dimensions d'espais vectorials: quan encaixes estructures, les dimensions es multipliquen, igual que passa amb el producte cartesià.

El polinomi mínim. El candidat natural és $x^{3} - 19$, que òbviament anul·la l'element i és mònic.

És irreductible? Sí, per Eisenstein: pren un primer que divideixi $19$ sense que el seu quadrat el divideixi. Aquest primer no divideix el coeficient líder (que és $1$), divideix tots els altres coeficients (que són zero excepte el terme independent) i el seu quadrat no divideix $19$.

Conclusió. El grau de l'extensió és el grau del polinomi mínim:

$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{19}) : \mathbb{Q}] = 3$

Una base és el conjunt de les potències de l'element des de la zero fins a la $2$, en total $3$ elements.

Una conseqüència útil. Per la fórmula de la torre, qualsevol element que visqui dins d'aquesta extensió ha de tenir grau que divideixi $3$. Això descarta immediatament moltes possibilitats sense fer cap càlcul.

La fórmula de la torre.

$[M:K] = [M:L]\cdot[L:K] = 7\cdot5 = 35$

Per què es multipliquen. Si prens una base del pis de baix i una del de dalt, els productes formen una base del conjunt. Hi ha $5$ elements a la primera i $7$ a la segona, o sigui $35$ productes.

El que permet fer. Aquesta fórmula converteix preguntes d'existència en divisibilitat. Si et preguntes si un cert element pot viure dins de $M$, mira si el seu grau divideix $35$; si no, la resposta és no, sense cap càlcul.

L'error clàssic és sumar els graus. Pensa-ho com a dimensions d'espais vectorials: quan encaixes estructures, les dimensions es multipliquen, igual que passa amb el producte cartesià.

El polinomi mínim. El candidat natural és $x^{4} - 2$, que òbviament anul·la l'element i és mònic.

És irreductible? Sí, per Eisenstein: pren un primer que divideixi $2$ sense que el seu quadrat el divideixi. Aquest primer no divideix el coeficient líder (que és $1$), divideix tots els altres coeficients (que són zero excepte el terme independent) i el seu quadrat no divideix $2$.

Conclusió. El grau de l'extensió és el grau del polinomi mínim:

$[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) : \mathbb{Q}] = 4$

Una base és el conjunt de les potències de l'element des de la zero fins a la $3$, en total $4$ elements.

Una conseqüència útil. Per la fórmula de la torre, qualsevol element que visqui dins d'aquesta extensió ha de tenir grau que divideixi $4$. Això descarta immediatament moltes possibilitats sense fer cap càlcul.

La fórmula de la torre.

$[M:K] = [M:L]\cdot[L:K] = 2\cdot6 = 12$

Per què es multipliquen. Si prens una base del pis de baix i una del de dalt, els productes formen una base del conjunt. Hi ha $6$ elements a la primera i $2$ a la segona, o sigui $12$ productes.

El que permet fer. Aquesta fórmula converteix preguntes d'existència en divisibilitat. Si et preguntes si un cert element pot viure dins de $M$, mira si el seu grau divideix $12$; si no, la resposta és no, sense cap càlcul.

L'error clàssic és sumar els graus. Pensa-ho com a dimensions d'espais vectorials: quan encaixes estructures, les dimensions es multipliquen, igual que passa amb el producte cartesià.