Exercicis de cossos i extensions

El criteri. Un cos finit conté un subcòs primer amb $p$ elements i n'és un espai vectorial de dimensió finita $n$. Per tant té exactament $p^{n}$ elements: la mida ha de ser una potència d'un únic primer.

Aquí: $15 = 3^{1} \cdot 5^{1}$, que té més d'un factor primer. Per tant no existeix cap cos d'aquesta mida.

Un avís. Quan existeix, el cos de $p^{n}$ elements amb $n > 1$ no és l'anell de les classes mòdul $p^{n}$: aquell té divisors de zero. Es construeix com a quocient de polinomis sobre les classes mòdul $p$ per un polinomi irreductible de grau $n$.

El grup multiplicatiu d'un cos finit és sempre cíclic, cosa que no és gens òbvia i que té moltes aplicacions en criptografia i codis correctors.

El polinomi mínim. El candidat natural és $x^{3} - 10$, que òbviament anul·la l'element i és mònic.

És irreductible? Sí, per Eisenstein: pren un primer que divideixi $10$ sense que el seu quadrat el divideixi. Aquest primer no divideix el coeficient líder (que és $1$), divideix tots els altres coeficients (que són zero excepte el terme independent) i el seu quadrat no divideix $10$.

Conclusió. El grau de l'extensió és el grau del polinomi mínim:

$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{10}) : \mathbb{Q}] = 3$

Una base és el conjunt de les potències de l'element des de la zero fins a la $2$, en total $3$ elements.

Una conseqüència útil. Per la fórmula de la torre, qualsevol element que visqui dins d'aquesta extensió ha de tenir grau que divideixi $3$. Això descarta immediatament moltes possibilitats sense fer cap càlcul.

La fórmula de la torre.

$[M:K] = [M:L]\cdot[L:K] = 7\cdot4 = 28$

Per què es multipliquen. Si prens una base del pis de baix i una del de dalt, els productes formen una base del conjunt. Hi ha $4$ elements a la primera i $7$ a la segona, o sigui $28$ productes.

El que permet fer. Aquesta fórmula converteix preguntes d'existència en divisibilitat. Si et preguntes si un cert element pot viure dins de $M$, mira si el seu grau divideix $28$; si no, la resposta és no, sense cap càlcul.

L'error clàssic és sumar els graus. Pensa-ho com a dimensions d'espais vectorials: quan encaixes estructures, les dimensions es multipliquen, igual que passa amb el producte cartesià.

El criteri. Un cos finit conté un subcòs primer amb $p$ elements i n'és un espai vectorial de dimensió finita $n$. Per tant té exactament $p^{n}$ elements: la mida ha de ser una potència d'un únic primer.

Aquí: $20 = 2^{2} \cdot 5^{1}$, que té més d'un factor primer. Per tant no existeix cap cos d'aquesta mida.

Un avís. Quan existeix, el cos de $p^{n}$ elements amb $n > 1$ no és l'anell de les classes mòdul $p^{n}$: aquell té divisors de zero. Es construeix com a quocient de polinomis sobre les classes mòdul $p$ per un polinomi irreductible de grau $n$.

El grup multiplicatiu d'un cos finit és sempre cíclic, cosa que no és gens òbvia i que té moltes aplicacions en criptografia i codis correctors.

El polinomi mínim. El candidat natural és $x^{3} - 11$, que òbviament anul·la l'element i és mònic.

És irreductible? Sí, per Eisenstein: pren un primer que divideixi $11$ sense que el seu quadrat el divideixi. Aquest primer no divideix el coeficient líder (que és $1$), divideix tots els altres coeficients (que són zero excepte el terme independent) i el seu quadrat no divideix $11$.

Conclusió. El grau de l'extensió és el grau del polinomi mínim:

$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{11}) : \mathbb{Q}] = 3$

Una base és el conjunt de les potències de l'element des de la zero fins a la $2$, en total $3$ elements.

Una conseqüència útil. Per la fórmula de la torre, qualsevol element que visqui dins d'aquesta extensió ha de tenir grau que divideixi $3$. Això descarta immediatament moltes possibilitats sense fer cap càlcul.

La fórmula de la torre.

$[M:K] = [M:L]\cdot[L:K] = 2\cdot5 = 10$

Per què es multipliquen. Si prens una base del pis de baix i una del de dalt, els productes formen una base del conjunt. Hi ha $5$ elements a la primera i $2$ a la segona, o sigui $10$ productes.

El que permet fer. Aquesta fórmula converteix preguntes d'existència en divisibilitat. Si et preguntes si un cert element pot viure dins de $M$, mira si el seu grau divideix $10$; si no, la resposta és no, sense cap càlcul.

L'error clàssic és sumar els graus. Pensa-ho com a dimensions d'espais vectorials: quan encaixes estructures, les dimensions es multipliquen, igual que passa amb el producte cartesià.

El criteri. Un cos finit conté un subcòs primer amb $p$ elements i n'és un espai vectorial de dimensió finita $n$. Per tant té exactament $p^{n}$ elements: la mida ha de ser una potència d'un únic primer.

Aquí: $125 = 5^{3}$, que és una potència d'un sol primer. Per tant existeix, i a més és únic fins a isomorfisme.

Un avís. Quan existeix, el cos de $p^{n}$ elements amb $n > 1$ no és l'anell de les classes mòdul $p^{n}$: aquell té divisors de zero. Es construeix com a quocient de polinomis sobre les classes mòdul $p$ per un polinomi irreductible de grau $n$.

El grup multiplicatiu d'un cos finit és sempre cíclic, cosa que no és gens òbvia i que té moltes aplicacions en criptografia i codis correctors.

El polinomi mínim. El candidat natural és $x^{3} - 13$, que òbviament anul·la l'element i és mònic.

És irreductible? Sí, per Eisenstein: pren un primer que divideixi $13$ sense que el seu quadrat el divideixi. Aquest primer no divideix el coeficient líder (que és $1$), divideix tots els altres coeficients (que són zero excepte el terme independent) i el seu quadrat no divideix $13$.

Conclusió. El grau de l'extensió és el grau del polinomi mínim:

$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{13}) : \mathbb{Q}] = 3$

Una base és el conjunt de les potències de l'element des de la zero fins a la $2$, en total $3$ elements.

Una conseqüència útil. Per la fórmula de la torre, qualsevol element que visqui dins d'aquesta extensió ha de tenir grau que divideixi $3$. Això descarta immediatament moltes possibilitats sense fer cap càlcul.

La fórmula de la torre.

$[M:K] = [M:L]\cdot[L:K] = 3\cdot5 = 15$

Per què es multipliquen. Si prens una base del pis de baix i una del de dalt, els productes formen una base del conjunt. Hi ha $5$ elements a la primera i $3$ a la segona, o sigui $15$ productes.

El que permet fer. Aquesta fórmula converteix preguntes d'existència en divisibilitat. Si et preguntes si un cert element pot viure dins de $M$, mira si el seu grau divideix $15$; si no, la resposta és no, sense cap càlcul.

L'error clàssic és sumar els graus. Pensa-ho com a dimensions d'espais vectorials: quan encaixes estructures, les dimensions es multipliquen, igual que passa amb el producte cartesià.

El criteri. Un cos finit conté un subcòs primer amb $p$ elements i n'és un espai vectorial de dimensió finita $n$. Per tant té exactament $p^{n}$ elements: la mida ha de ser una potència d'un únic primer.

Aquí: $128 = 2^{7}$, que és una potència d'un sol primer. Per tant existeix, i a més és únic fins a isomorfisme.

Un avís. Quan existeix, el cos de $p^{n}$ elements amb $n > 1$ no és l'anell de les classes mòdul $p^{n}$: aquell té divisors de zero. Es construeix com a quocient de polinomis sobre les classes mòdul $p$ per un polinomi irreductible de grau $n$.

El grup multiplicatiu d'un cos finit és sempre cíclic, cosa que no és gens òbvia i que té moltes aplicacions en criptografia i codis correctors.