Exercicis de probabilitat condicionada i Bayes

Si simplement sumessis $P(A) + P(B)$, els casos que estan als dos alhora els comptaries dues vegades. Per això se n'ha de restar una:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \approx 0.9000$

És a dir, un 90 %.

Aquest és el problema típic de Bayes, i el truc és fer sempre un arbre.

Pas 1 — el camí que et demanen (ve de la torn de matí i és defectuosa). Es multipliquen les probabilitats del recorregut:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{50} = \frac{1}{100} \approx 0.01000$

Pas 2 — tots els camins que acaben en defectuosa (probabilitat total):

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{50} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{3}{100} \approx 0.03000$

Pas 3 — dividir, perquè ja sabem que ha sortit defectuosa i només ens movem dins d'aquest món:

$P(\text{torn de matí} \mid \text{defectuosa}) = \frac{0.01000}{0.03000} \approx 0.3333$

És a dir, un 33.3333 %.

La idea de fons: el denominador és tot el que pot acabar en defectuosa, i el numerador només el tros que t'interessa.

$P(A \mid B)$ es llegeix «probabilitat de $A$ sabent que ha passat $B$». Saber que ha passat $B$ redueix l'univers: ja no comptem tothom, només els de $B$.

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{5} \approx 0.4000$

És a dir, un 40 %.

Fixa't que a sota hi va la condició ($B$), no $A$. Si t'equivoques d'ordre estàs calculant $P(B \mid A)$, que és una altra cosa.

Si simplement sumessis $P(A) + P(B)$, els casos que estan als dos alhora els comptaries dues vegades. Per això se n'ha de restar una:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \approx 0.8000$

És a dir, un 80 %.

Aquest és el problema típic de Bayes, i el truc és fer sempre un arbre.

Pas 1 — el camí que et demanen (ve de la fàbrica A i és defectuosa). Es multipliquen les probabilitats del recorregut:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{100} = \frac{3}{200} \approx 0.01500$

Pas 2 — tots els camins que acaben en defectuosa (probabilitat total):

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{100} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{50} \approx 0.02000$

Pas 3 — dividir, perquè ja sabem que ha sortit defectuosa i només ens movem dins d'aquest món:

$P(\text{fàbrica A} \mid \text{defectuosa}) = \frac{0.01500}{0.02000} \approx 0.7500$

És a dir, un 75 %.

La idea de fons: el denominador és tot el que pot acabar en defectuosa, i el numerador només el tros que t'interessa.

$P(A \mid B)$ es llegeix «probabilitat de $A$ sabent que ha passat $B$». Saber que ha passat $B$ redueix l'univers: ja no comptem tothom, només els de $B$.

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{5} \approx 0.6000$

És a dir, un 60 %.

Fixa't que a sota hi va la condició ($B$), no $A$. Si t'equivoques d'ordre estàs calculant $P(B \mid A)$, que és una altra cosa.

Si simplement sumessis $P(A) + P(B)$, els casos que estan als dos alhora els comptaries dues vegades. Per això se n'ha de restar una:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10} \approx 0.7000$

És a dir, un 70 %.

Aquest és el problema típic de Bayes, i el truc és fer sempre un arbre.

Pas 1 — el camí que et demanen (ve de la màquina A i és defectuosa). Es multipliquen les probabilitats del recorregut:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{100} = \frac{3}{200} \approx 0.01500$

Pas 2 — tots els camins que acaben en defectuosa (probabilitat total):

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{100} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{50} = \frac{1}{40} \approx 0.02500$

Pas 3 — dividir, perquè ja sabem que ha sortit defectuosa i només ens movem dins d'aquest món:

$P(\text{màquina A} \mid \text{defectuosa}) = \frac{0.01500}{0.02500} \approx 0.6000$

És a dir, un 60 %.

La idea de fons: el denominador és tot el que pot acabar en defectuosa, i el numerador només el tros que t'interessa.

$P(A \mid B)$ es llegeix «probabilitat de $A$ sabent que ha passat $B$». Saber que ha passat $B$ redueix l'univers: ja no comptem tothom, només els de $B$.

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

És a dir, un 50 %.

Fixa't que a sota hi va la condició ($B$), no $A$. Si t'equivoques d'ordre estàs calculant $P(B \mid A)$, que és una altra cosa.

Si simplement sumessis $P(A) + P(B)$, els casos que estan als dos alhora els comptaries dues vegades. Per això se n'ha de restar una:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$= \frac{3}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{7}{10} \approx 0.7000$

És a dir, un 70 %.