Exercicis de probabilitat condicionada i Bayes

$P(A \mid B)$ es llegeix «probabilitat de $A$ sabent que ha passat $B$». Saber que ha passat $B$ redueix l'univers: ja no comptem tothom, només els de $B$.

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

És a dir, un 50 %.

Fixa't que a sota hi va la condició ($B$), no $A$. Si t'equivoques d'ordre estàs calculant $P(B \mid A)$, que és una altra cosa.

Si simplement sumessis $P(A) + P(B)$, els casos que estan als dos alhora els comptaries dues vegades. Per això se n'ha de restar una:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{3}{5} \approx 0.6000$

És a dir, un 60 %.

Aquest és el problema típic de Bayes, i el truc és fer sempre un arbre.

Pas 1 — el camí que et demanen (ve de la torn de matí i és defectuosa). Es multipliquen les probabilitats del recorregut:

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{100} = \frac{3}{250} \approx 0.01200$

Pas 2 — tots els camins que acaben en defectuosa (probabilitat total):

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{100} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{25} = \frac{9}{250} \approx 0.03600$

Pas 3 — dividir, perquè ja sabem que ha sortit defectuosa i només ens movem dins d'aquest món:

$P(\text{torn de matí} \mid \text{defectuosa}) = \frac{0.01200}{0.03600} \approx 0.3333$

És a dir, un 33.3333 %.

La idea de fons: el denominador és tot el que pot acabar en defectuosa, i el numerador només el tros que t'interessa.

Que dos successos siguin independents vol dir que saber que ha passat un no canvia gens la probabilitat de l'altre. Quan això passa, la intersecció es calcula multiplicant:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{25} \approx 0.1600$

És a dir, un 16 %.

Aquesta fórmula només val si són independents. Si no t'ho diuen a l'enunciat, no la pots fer servir.

$P(A \mid B)$ es llegeix «probabilitat de $A$ sabent que ha passat $B$». Saber que ha passat $B$ redueix l'univers: ja no comptem tothom, només els de $B$.

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}} = 1$

És a dir, un 100 %.

Fixa't que a sota hi va la condició ($B$), no $A$. Si t'equivoques d'ordre estàs calculant $P(B \mid A)$, que és una altra cosa.

Si simplement sumessis $P(A) + P(B)$, els casos que estan als dos alhora els comptaries dues vegades. Per això se n'ha de restar una:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

És a dir, un 50 %.

Aquest és el problema típic de Bayes, i el truc és fer sempre un arbre.

Pas 1 — el camí que et demanen (ve de la fàbrica A i és defectuosa). Es multipliquen les probabilitats del recorregut:

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{50} \approx 0.02000$

Pas 2 — tots els camins que acaben en defectuosa (probabilitat total):

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{20} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{100} = \frac{13}{500} \approx 0.02600$

Pas 3 — dividir, perquè ja sabem que ha sortit defectuosa i només ens movem dins d'aquest món:

$P(\text{fàbrica A} \mid \text{defectuosa}) = \frac{0.02000}{0.02600} \approx 0.7692$

És a dir, un 76.9231 %.

La idea de fons: el denominador és tot el que pot acabar en defectuosa, i el numerador només el tros que t'interessa.

Que dos successos siguin independents vol dir que saber que ha passat un no canvia gens la probabilitat de l'altre. Quan això passa, la intersecció es calcula multiplicant:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{25} \approx 0.2400$

És a dir, un 24 %.

Aquesta fórmula només val si són independents. Si no t'ho diuen a l'enunciat, no la pots fer servir.

$P(A \mid B)$ es llegeix «probabilitat de $A$ sabent que ha passat $B$». Saber que ha passat $B$ redueix l'univers: ja no comptem tothom, només els de $B$.

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{3}{10}} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$

És a dir, un 33.3333 %.

Fixa't que a sota hi va la condició ($B$), no $A$. Si t'equivoques d'ordre estàs calculant $P(B \mid A)$, que és una altra cosa.

Si simplement sumessis $P(A) + P(B)$, els casos que estan als dos alhora els comptaries dues vegades. Per això se n'ha de restar una:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$= \frac{1}{2} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{7}{10} \approx 0.7000$

És a dir, un 70 %.