Exercicis d'estimació puntual i per intervals

La descomposició.

$\operatorname{MSE} = \operatorname{Var} + \text{biaix}^{2} = 16 + \frac{1}{4}^{2} = \frac{257}{16} \approx 16.0625$

Per què importa. Hi ha dues fonts d'error, i reduir-ne una sovint augmenta l'altra. Un estimador lleugerament esbiaixat però molt més estable pot tenir menys error total que un de no esbiaixat i sorollós.

Aquest compromís entre biaix i variància reapareix a tot arreu: a la variància mostral amb denominador $n$ contra $n-1$, a la regressió regularitzada i a tot l'aprenentatge automàtic. Triar l'estimador no esbiaixat no és automàticament la decisió correcta.

Pas 1 — el pivot. Sota normalitat,

$\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}_{29}$

Pas 2 — invertir la desigualtat. De $\chi^{2}_{29} \leq 45.722$ surt

$\sigma^{2} \geq \frac{29\cdot25}{45.722} \approx 15.8567$

El detall que es falla sempre: els quantils van creuats. El quantil gran dona l'extrem petit i el petit dona l'extrem gran, perquè en invertir una desigualtat que té el paràmetre al denominador el sentit canvia.

I una altra cosa: aquest interval no és simètric al voltant de $s^{2}$, al contrari del de la mitjana. La khi quadrat és asimètrica i l'interval ho hereta.

Pas 1 — error estàndard.

$\frac{2}{\sqrt{30}} \approx 0.3651$

Pas 2 — multiplicar pel quantil. Com que $\sigma$ és desconeguda, el pivot és una $t$ amb $29$ graus de llibertat:

$h = 2.045\cdot 0.3651 \approx 0.7467$

L'interval seria, doncs, aproximadament de $11.253$ a $12.747$.

Com s'ha de dir. No «hi ha un 95% de probabilitat que la mitjana estigui aquí dins», sinó «amb un procediment que encerta el 95% de les vegades, l'interval obtingut és aquest». El paràmetre és fix; el que és aleatori és l'interval.

La descomposició.

$\operatorname{MSE} = \operatorname{Var} + \text{biaix}^{2} = 16 + 3^{2} = 25$

Per què importa. Hi ha dues fonts d'error, i reduir-ne una sovint augmenta l'altra. Un estimador lleugerament esbiaixat però molt més estable pot tenir menys error total que un de no esbiaixat i sorollós.

Aquest compromís entre biaix i variància reapareix a tot arreu: a la variància mostral amb denominador $n$ contra $n-1$, a la regressió regularitzada i a tot l'aprenentatge automàtic. Triar l'estimador no esbiaixat no és automàticament la decisió correcta.

Pas 1 — error estàndard.

$\frac{4}{\sqrt{30}} \approx 0.7303$

Pas 2 — multiplicar pel quantil. Com que $\sigma$ és desconeguda, el pivot és una $t$ amb $29$ graus de llibertat:

$h = 2.045\cdot 0.7303 \approx 1.4935$

L'interval seria, doncs, aproximadament de $10.507$ a $13.493$.

Com s'ha de dir. No «hi ha un 95% de probabilitat que la mitjana estigui aquí dins», sinó «amb un procediment que encerta el 95% de les vegades, l'interval obtingut és aquest». El paràmetre és fix; el que és aleatori és l'interval.

Pas 1 — error estàndard.

$\frac{2}{\sqrt{30}} \approx 0.3651$

Pas 2 — multiplicar pel quantil. Com que $\sigma$ és desconeguda, el pivot és una $t$ amb $29$ graus de llibertat:

$h = 2.045\cdot 0.3651 \approx 0.7467$

L'interval seria, doncs, aproximadament de $19.253$ a $20.747$.

Com s'ha de dir. No «hi ha un 95% de probabilitat que la mitjana estigui aquí dins», sinó «amb un procediment que encerta el 95% de les vegades, l'interval obtingut és aquest». El paràmetre és fix; el que és aleatori és l'interval.

Pas 1 — error estàndard.

$\frac{4}{\sqrt{30}} \approx 0.7303$

Pas 2 — multiplicar pel quantil. Com que $\sigma$ és desconeguda, el pivot és una $t$ amb $29$ graus de llibertat:

$h = 2.045\cdot 0.7303 \approx 1.4935$

L'interval seria, doncs, aproximadament de $18.507$ a $21.493$.

Com s'ha de dir. No «hi ha un 95% de probabilitat que la mitjana estigui aquí dins», sinó «amb un procediment que encerta el 95% de les vegades, l'interval obtingut és aquest». El paràmetre és fix; el que és aleatori és l'interval.

Pas 1 — error estàndard.

$\frac{2}{\sqrt{30}} \approx 0.3651$

Pas 2 — multiplicar pel quantil. Com que $\sigma$ és desconeguda, el pivot és una $t$ amb $29$ graus de llibertat:

$h = 2.045\cdot 0.3651 \approx 0.7467$

L'interval seria, doncs, aproximadament de $99.253$ a $100.747$.

Com s'ha de dir. No «hi ha un 95% de probabilitat que la mitjana estigui aquí dins», sinó «amb un procediment que encerta el 95% de les vegades, l'interval obtingut és aquest». El paràmetre és fix; el que és aleatori és l'interval.

Pas 1 — error estàndard.

$\frac{4}{\sqrt{30}} \approx 0.7303$

Pas 2 — multiplicar pel quantil. Com que $\sigma$ és desconeguda, el pivot és una $t$ amb $29$ graus de llibertat:

$h = 2.045\cdot 0.7303 \approx 1.4935$

L'interval seria, doncs, aproximadament de $98.507$ a $101.493$.

Com s'ha de dir. No «hi ha un 95% de probabilitat que la mitjana estigui aquí dins», sinó «amb un procediment que encerta el 95% de les vegades, l'interval obtingut és aquest». El paràmetre és fix; el que és aleatori és l'interval.