Exercicis d'estimació puntual i per intervals

Pas 1 — error estàndard.

$\frac{2}{\sqrt{25}} \approx 0.4000$

Pas 2 — multiplicar pel quantil. Com que $\sigma$ és desconeguda, el pivot és una $t$ amb $24$ graus de llibertat:

$h = 2.064\cdot 0.4000 \approx 0.8256$

L'interval seria, doncs, aproximadament de $19.174$ a $20.826$.

Com s'ha de dir. No «hi ha un 95% de probabilitat que la mitjana estigui aquí dins», sinó «amb un procediment que encerta el 95% de les vegades, l'interval obtingut és aquest». El paràmetre és fix; el que és aleatori és l'interval.

La descomposició.

$\operatorname{MSE} = \operatorname{Var} + \text{biaix}^{2} = 16 + \frac{1}{2}^{2} = \frac{65}{4} \approx 16.2500$

Per què importa. Hi ha dues fonts d'error, i reduir-ne una sovint augmenta l'altra. Un estimador lleugerament esbiaixat però molt més estable pot tenir menys error total que un de no esbiaixat i sorollós.

Aquest compromís entre biaix i variància reapareix a tot arreu: a la variància mostral amb denominador $n$ contra $n-1$, a la regressió regularitzada i a tot l'aprenentatge automàtic. Triar l'estimador no esbiaixat no és automàticament la decisió correcta.

Pas 1 — el pivot. Sota normalitat,

$\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}_{29}$

Pas 2 — invertir la desigualtat. De $\chi^{2}_{29} \leq 45.722$ surt

$\sigma^{2} \geq \frac{29\cdot4}{45.722} \approx 2.5371$

El detall que es falla sempre: els quantils van creuats. El quantil gran dona l'extrem petit i el petit dona l'extrem gran, perquè en invertir una desigualtat que té el paràmetre al denominador el sentit canvia.

I una altra cosa: aquest interval no és simètric al voltant de $s^{2}$, al contrari del de la mitjana. La khi quadrat és asimètrica i l'interval ho hereta.

Pas 1 — error estàndard.

$\frac{4}{\sqrt{25}} \approx 0.8000$

Pas 2 — multiplicar pel quantil. Com que $\sigma$ és desconeguda, el pivot és una $t$ amb $24$ graus de llibertat:

$h = 2.064\cdot 0.8000 \approx 1.6512$

L'interval seria, doncs, aproximadament de $18.349$ a $21.651$.

Com s'ha de dir. No «hi ha un 95% de probabilitat que la mitjana estigui aquí dins», sinó «amb un procediment que encerta el 95% de les vegades, l'interval obtingut és aquest». El paràmetre és fix; el que és aleatori és l'interval.

La descomposició.

$\operatorname{MSE} = \operatorname{Var} + \text{biaix}^{2} = 16 + 1^{2} = 17$

Per què importa. Hi ha dues fonts d'error, i reduir-ne una sovint augmenta l'altra. Un estimador lleugerament esbiaixat però molt més estable pot tenir menys error total que un de no esbiaixat i sorollós.

Aquest compromís entre biaix i variància reapareix a tot arreu: a la variància mostral amb denominador $n$ contra $n-1$, a la regressió regularitzada i a tot l'aprenentatge automàtic. Triar l'estimador no esbiaixat no és automàticament la decisió correcta.

Pas 1 — el pivot. Sota normalitat,

$\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}_{29}$

Pas 2 — invertir la desigualtat. De $\chi^{2}_{29} \leq 45.722$ surt

$\sigma^{2} \geq \frac{29\cdot9}{45.722} \approx 5.7084$

El detall que es falla sempre: els quantils van creuats. El quantil gran dona l'extrem petit i el petit dona l'extrem gran, perquè en invertir una desigualtat que té el paràmetre al denominador el sentit canvia.

I una altra cosa: aquest interval no és simètric al voltant de $s^{2}$, al contrari del de la mitjana. La khi quadrat és asimètrica i l'interval ho hereta.

Pas 1 — error estàndard.

$\frac{2}{\sqrt{25}} \approx 0.4000$

Pas 2 — multiplicar pel quantil. Com que $\sigma$ és desconeguda, el pivot és una $t$ amb $24$ graus de llibertat:

$h = 2.064\cdot 0.4000 \approx 0.8256$

L'interval seria, doncs, aproximadament de $99.174$ a $100.826$.

Com s'ha de dir. No «hi ha un 95% de probabilitat que la mitjana estigui aquí dins», sinó «amb un procediment que encerta el 95% de les vegades, l'interval obtingut és aquest». El paràmetre és fix; el que és aleatori és l'interval.

La descomposició.

$\operatorname{MSE} = \operatorname{Var} + \text{biaix}^{2} = 16 + 2^{2} = 20$

Per què importa. Hi ha dues fonts d'error, i reduir-ne una sovint augmenta l'altra. Un estimador lleugerament esbiaixat però molt més estable pot tenir menys error total que un de no esbiaixat i sorollós.

Aquest compromís entre biaix i variància reapareix a tot arreu: a la variància mostral amb denominador $n$ contra $n-1$, a la regressió regularitzada i a tot l'aprenentatge automàtic. Triar l'estimador no esbiaixat no és automàticament la decisió correcta.

Pas 1 — el pivot. Sota normalitat,

$\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}_{29}$

Pas 2 — invertir la desigualtat. De $\chi^{2}_{29} \leq 45.722$ surt

$\sigma^{2} \geq \frac{29\cdot16}{45.722} \approx 10.1483$

El detall que es falla sempre: els quantils van creuats. El quantil gran dona l'extrem petit i el petit dona l'extrem gran, perquè en invertir una desigualtat que té el paràmetre al denominador el sentit canvia.

I una altra cosa: aquest interval no és simètric al voltant de $s^{2}$, al contrari del de la mitjana. La khi quadrat és asimètrica i l'interval ho hereta.

Pas 1 — error estàndard.

$\frac{4}{\sqrt{25}} \approx 0.8000$

Pas 2 — multiplicar pel quantil. Com que $\sigma$ és desconeguda, el pivot és una $t$ amb $24$ graus de llibertat:

$h = 2.064\cdot 0.8000 \approx 1.6512$

L'interval seria, doncs, aproximadament de $98.349$ a $101.651$.

Com s'ha de dir. No «hi ha un 95% de probabilitat que la mitjana estigui aquí dins», sinó «amb un procediment que encerta el 95% de les vegades, l'interval obtingut és aquest». El paràmetre és fix; el que és aleatori és l'interval.