Exercicis de convexitat i KKT

Pas 1 — les condicions. Amb $g(x) = x - 10 \leq 0$:

$2(x-14) + \mu = 0,\qquad \mu \geq 0,\qquad \mu(x - 10) = 0,\qquad x\leq10$

Pas 2 — cas inactiu ($\mu = 0$). L'estacionarietat donaria $x = 14$, que no compleix $x\leq10$. Descartat.

Pas 3 — cas actiu ($x = 10$). L'estacionarietat dona

$\mu = 2(14-10) = 8 \geq 0$

El signe és correcte, o sigui que totes les condicions es compleixen.

Per què això certifica l'òptim global. L'objectiu i la restricció són convexos, i en aquest cas complir les KKT és suficient per a optimalitat global. Sense convexitat, les KKT només donarien un candidat.

Interpretació del multiplicador: és la taxa a què milloraria l'òptim si afluixessis la restricció una unitat.