Exercicis de grafs i arbres

El resultat. Un arbre amb $17$ vèrtexs té exactament

$|E| = n - 1 = 16$

arestes.

Per què. Comença amb un sol vèrtex i cap aresta. Cada vegada que afegeixes un vèrtex nou l'has de connectar amb exactament una aresta: amb cap quedaria aïllat, i amb dues o més tancaries un cicle. Per tant, $17$ vèrtexs necessiten $16$ arestes.

Les dues cares del resultat. Connectar $17$ vèrtexs necessita com a mínim $16$ arestes; i un graf amb $17$ arestes o més sobre $17$ vèrtexs ha de tenir algun cicle. L'arbre és exactament el cas frontera.

La cota.

$|E| \leq 3|V| - 6 = 3\cdot18 - 6 = 48$

D'on surt. De la fórmula d'Euler $|V| - |E| + |F| = 2$ i del fet que, en un graf simple, cada cara està limitada per almenys $3$ arestes i cada aresta toca com a molt $2$ cares. Això dona $2|E| \geq 3|F|$, i substituint a Euler surt la desigualtat.

Si a més el graf és bipartit, no hi pot haver cicles de longitud $3$ i cada cara necessita almenys $4$ arestes; la cota baixa a $2|V| - 4 = 32$.

Molt important: aquestes cotes són necessàries, no suficients. Si un graf les incompleix segur que no és planar; si les compleix, encara podria no ser-ho.

El lema de les encaixades.

$\sum_{v} d(v) = 2|E|$

perquè cada aresta aporta $1$ al grau de cadascun dels seus dos extrems.

Aquí: la suma de graus és $8\cdot7 = 56$, i per tant

$|E| = \frac{56}{2} = 28$

La comprovació de paritat. La suma de graus sempre és parella. Si un enunciat et dona graus que sumen senar, aquell graf no existeix i no cal intentar dibuixar-lo. És una de les maneres més ràpides de descartar configuracions impossibles.

El resultat. Un arbre amb $18$ vèrtexs té exactament

$|E| = n - 1 = 17$

arestes.

Per què. Comença amb un sol vèrtex i cap aresta. Cada vegada que afegeixes un vèrtex nou l'has de connectar amb exactament una aresta: amb cap quedaria aïllat, i amb dues o més tancaries un cicle. Per tant, $18$ vèrtexs necessiten $17$ arestes.

Les dues cares del resultat. Connectar $18$ vèrtexs necessita com a mínim $17$ arestes; i un graf amb $18$ arestes o més sobre $18$ vèrtexs ha de tenir algun cicle. L'arbre és exactament el cas frontera.

La cota.

$|E| \leq 3|V| - 6 = 3\cdot19 - 6 = 51$

D'on surt. De la fórmula d'Euler $|V| - |E| + |F| = 2$ i del fet que, en un graf simple, cada cara està limitada per almenys $3$ arestes i cada aresta toca com a molt $2$ cares. Això dona $2|E| \geq 3|F|$, i substituint a Euler surt la desigualtat.

Si a més el graf és bipartit, no hi pot haver cicles de longitud $3$ i cada cara necessita almenys $4$ arestes; la cota baixa a $2|V| - 4 = 34$.

Molt important: aquestes cotes són necessàries, no suficients. Si un graf les incompleix segur que no és planar; si les compleix, encara podria no ser-ho.

El lema de les encaixades.

$\sum_{v} d(v) = 2|E|$

perquè cada aresta aporta $1$ al grau de cadascun dels seus dos extrems.

Aquí: la suma de graus és $9\cdot2 = 18$, i per tant

$|E| = \frac{18}{2} = 9$

La comprovació de paritat. La suma de graus sempre és parella. Si un enunciat et dona graus que sumen senar, aquell graf no existeix i no cal intentar dibuixar-lo. És una de les maneres més ràpides de descartar configuracions impossibles.

El resultat. Un arbre amb $19$ vèrtexs té exactament

$|E| = n - 1 = 18$

arestes.

Per què. Comença amb un sol vèrtex i cap aresta. Cada vegada que afegeixes un vèrtex nou l'has de connectar amb exactament una aresta: amb cap quedaria aïllat, i amb dues o més tancaries un cicle. Per tant, $19$ vèrtexs necessiten $18$ arestes.

Les dues cares del resultat. Connectar $19$ vèrtexs necessita com a mínim $18$ arestes; i un graf amb $19$ arestes o més sobre $19$ vèrtexs ha de tenir algun cicle. L'arbre és exactament el cas frontera.

La cota.

$|E| \leq 3|V| - 6 = 3\cdot20 - 6 = 54$

D'on surt. De la fórmula d'Euler $|V| - |E| + |F| = 2$ i del fet que, en un graf simple, cada cara està limitada per almenys $3$ arestes i cada aresta toca com a molt $2$ cares. Això dona $2|E| \geq 3|F|$, i substituint a Euler surt la desigualtat.

Si a més el graf és bipartit, no hi pot haver cicles de longitud $3$ i cada cara necessita almenys $4$ arestes; la cota baixa a $2|V| - 4 = 36$.

Molt important: aquestes cotes són necessàries, no suficients. Si un graf les incompleix segur que no és planar; si les compleix, encara podria no ser-ho.

El lema de les encaixades.

$\sum_{v} d(v) = 2|E|$

perquè cada aresta aporta $1$ al grau de cadascun dels seus dos extrems.

Aquí: la suma de graus és $9\cdot4 = 36$, i per tant

$|E| = \frac{36}{2} = 18$

La comprovació de paritat. La suma de graus sempre és parella. Si un enunciat et dona graus que sumen senar, aquell graf no existeix i no cal intentar dibuixar-lo. És una de les maneres més ràpides de descartar configuracions impossibles.

El resultat. Un arbre amb $20$ vèrtexs té exactament

$|E| = n - 1 = 19$

arestes.

Per què. Comença amb un sol vèrtex i cap aresta. Cada vegada que afegeixes un vèrtex nou l'has de connectar amb exactament una aresta: amb cap quedaria aïllat, i amb dues o més tancaries un cicle. Per tant, $20$ vèrtexs necessiten $19$ arestes.

Les dues cares del resultat. Connectar $20$ vèrtexs necessita com a mínim $19$ arestes; i un graf amb $20$ arestes o més sobre $20$ vèrtexs ha de tenir algun cicle. L'arbre és exactament el cas frontera.