Exercicis de conjunts, aplicacions i relacions

El raonament. Una aplicació assigna a cada element de sortida exactament una imatge, i les eleccions són independents:

$n^{m} = 7^{5} = 16807$

Compte amb l'ordre dels exponents. La base és la mida del conjunt d'arribada (les opcions) i l'exponent és la del de sortida (les decisions). Intercanviar-los dona $78125$, que és una resposta diferent.

De pas: injectives n'hi ha $7\cdot6\cdots$, és a dir $2520$, i bijectives només si els dos conjunts tenen la mateixa mida.

La fórmula i el seu perquè.

$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 12 + 22 - 7 = 27$

En sumar $12$ i $22$, els $7$ elements comuns s'han comptat dues vegades, una en cada conjunt. Restar-los una vegada els deixa comptats exactament un cop.

Comprovacions de coherència. El resultat ha de quedar entre el més gran dels dos ($22$) i la suma ($34$). I la intersecció mai no pot superar el més petit dels dos conjunts.

Amb tres conjunts la fórmula segueix alternant signes: se sumen les tres mides, es resten les tres interseccions dos a dos i es torna a sumar la triple. Aquest és el principi d'inclusió i exclusió general.

El raonament. Una aplicació assigna a cada element de sortida exactament una imatge, i les eleccions són independents:

$n^{m} = 2^{6} = 64$

Compte amb l'ordre dels exponents. La base és la mida del conjunt d'arribada (les opcions) i l'exponent és la del de sortida (les decisions). Intercanviar-los dona $36$, que és una resposta diferent.

De pas: injectives n'hi ha zero, perquè amb $6$ elements de sortida no pots anar a $2$ imatges diferents, i bijectives només si els dos conjunts tenen la mateixa mida.

La fórmula i el seu perquè.

$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 15 + 8 - 3 = 20$

En sumar $15$ i $8$, els $3$ elements comuns s'han comptat dues vegades, una en cada conjunt. Restar-los una vegada els deixa comptats exactament un cop.

Comprovacions de coherència. El resultat ha de quedar entre el més gran dels dos ($15$) i la suma ($23$). I la intersecció mai no pot superar el més petit dels dos conjunts.

Amb tres conjunts la fórmula segueix alternant signes: se sumen les tres mides, es resten les tres interseccions dos a dos i es torna a sumar la triple. Aquest és el principi d'inclusió i exclusió general.

El raonament. Una aplicació assigna a cada element de sortida exactament una imatge, i les eleccions són independents:

$n^{m} = 3^{6} = 729$

Compte amb l'ordre dels exponents. La base és la mida del conjunt d'arribada (les opcions) i l'exponent és la del de sortida (les decisions). Intercanviar-los dona $216$, que és una resposta diferent.

De pas: injectives n'hi ha zero, perquè amb $6$ elements de sortida no pots anar a $3$ imatges diferents, i bijectives només si els dos conjunts tenen la mateixa mida.

La fórmula i el seu perquè.

$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 15 + 8 - 5 = 18$

En sumar $15$ i $8$, els $5$ elements comuns s'han comptat dues vegades, una en cada conjunt. Restar-los una vegada els deixa comptats exactament un cop.

Comprovacions de coherència. El resultat ha de quedar entre el més gran dels dos ($15$) i la suma ($23$). I la intersecció mai no pot superar el més petit dels dos conjunts.

Amb tres conjunts la fórmula segueix alternant signes: se sumen les tres mides, es resten les tres interseccions dos a dos i es torna a sumar la triple. Aquest és el principi d'inclusió i exclusió general.

El raonament. Una aplicació assigna a cada element de sortida exactament una imatge, i les eleccions són independents:

$n^{m} = 4^{6} = 4096$

Compte amb l'ordre dels exponents. La base és la mida del conjunt d'arribada (les opcions) i l'exponent és la del de sortida (les decisions). Intercanviar-los dona $1296$, que és una resposta diferent.

De pas: injectives n'hi ha zero, perquè amb $6$ elements de sortida no pots anar a $4$ imatges diferents, i bijectives només si els dos conjunts tenen la mateixa mida.

La fórmula i el seu perquè.

$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 15 + 8 - 7 = 16$

En sumar $15$ i $8$, els $7$ elements comuns s'han comptat dues vegades, una en cada conjunt. Restar-los una vegada els deixa comptats exactament un cop.

Comprovacions de coherència. El resultat ha de quedar entre el més gran dels dos ($15$) i la suma ($23$). I la intersecció mai no pot superar el més petit dels dos conjunts.

Amb tres conjunts la fórmula segueix alternant signes: se sumen les tres mides, es resten les tres interseccions dos a dos i es torna a sumar la triple. Aquest és el principi d'inclusió i exclusió general.

El raonament. Una aplicació assigna a cada element de sortida exactament una imatge, i les eleccions són independents:

$n^{m} = 5^{6} = 15625$

Compte amb l'ordre dels exponents. La base és la mida del conjunt d'arribada (les opcions) i l'exponent és la del de sortida (les decisions). Intercanviar-los dona $7776$, que és una resposta diferent.

De pas: injectives n'hi ha zero, perquè amb $6$ elements de sortida no pots anar a $5$ imatges diferents, i bijectives només si els dos conjunts tenen la mateixa mida.

La fórmula i el seu perquè.

$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 15 + 14 - 3 = 26$

En sumar $15$ i $14$, els $3$ elements comuns s'han comptat dues vegades, una en cada conjunt. Restar-los una vegada els deixa comptats exactament un cop.

Comprovacions de coherència. El resultat ha de quedar entre el més gran dels dos ($15$) i la suma ($29$). I la intersecció mai no pot superar el més petit dels dos conjunts.

Amb tres conjunts la fórmula segueix alternant signes: se sumen les tres mides, es resten les tres interseccions dos a dos i es torna a sumar la triple. Aquest és el principi d'inclusió i exclusió general.