Exercicis de funcions de diverses variables

Una segona derivada parcial és derivar dues vegades respecte de la mateixa variable, tractant sempre l'altra com una constant.

Primera:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 4 y$

Segona:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$

Les segones derivades són les que decideixen si un punt crític és màxim, mínim o sella, a través del hessià $H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$.

El hessià és el criteri de la segona derivada per a dues variables: substitueix el $f''(x)$ que fas servir amb una sola variable.

Les tres segones derivades:

$f_{xx} = 2, \qquad f_{yy} = 10, \qquad f_{xy} = 0$

El hessià:

$H = (2)(10) - (0)^2 = 20$

Com que $H > 0$ i $f_{xx} = 2 > 0$, el punt $(0,0)$ és un mínim.

El criteri sencer: $H > 0$ i $f_{xx} > 0$ → mínim; $H > 0$ i $f_{xx} < 0$ → màxim; $H < 0$ → sella; $H = 0$ → el criteri no decideix.

Una derivada parcial és una derivada normal amb una regla afegida: l'altra variable es tracta com una constant.

Aquí derivem respecte de $x$, o sigui que $y$ es comporta com si fos un número:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + 2 y^{2}$

Ara substituïm el punt $(1, 2)$:

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = 12$

Interpretació: aquest número és el pendent de la superfície en aquell punt si et mous només en la direcció de l'eix $x$.

Una derivada parcial és una derivada normal amb una regla afegida: l'altra variable es tracta com una constant.

Aquí derivem respecte de $y$, o sigui que $x$ es comporta com si fos un número:

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 4 x y + 1$

Ara substituïm el punt $(1, 2)$:

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) = 10$

Interpretació: aquest número és el pendent de la superfície en aquell punt si et mous només en la direcció de l'eix $y$.

Una segona derivada parcial és derivar dues vegades respecte de la mateixa variable, tractant sempre l'altra com una constant.

Primera:

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x + 2 y$

Segona:

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

Les segones derivades són les que decideixen si un punt crític és màxim, mínim o sella, a través del hessià $H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$.

El hessià és el criteri de la segona derivada per a dues variables: substitueix el $f''(x)$ que fas servir amb una sola variable.

Les tres segones derivades:

$f_{xx} = 2, \qquad f_{yy} = 12, \qquad f_{xy} = 0$

El hessià:

$H = (2)(12) - (0)^2 = 24$

Com que $H > 0$ i $f_{xx} = 2 > 0$, el punt $(0,0)$ és un mínim.

El criteri sencer: $H > 0$ i $f_{xx} > 0$ → mínim; $H > 0$ i $f_{xx} < 0$ → màxim; $H < 0$ → sella; $H = 0$ → el criteri no decideix.

Una derivada parcial és una derivada normal amb una regla afegida: l'altra variable es tracta com una constant.

Aquí derivem respecte de $x$, o sigui que $y$ es comporta com si fos un número:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + 2 y^{2}$

Ara substituïm el punt $(1, 2)$:

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = 12$

Interpretació: aquest número és el pendent de la superfície en aquell punt si et mous només en la direcció de l'eix $x$.

Una derivada parcial és una derivada normal amb una regla afegida: l'altra variable es tracta com una constant.

Aquí derivem respecte de $y$, o sigui que $x$ es comporta com si fos un número:

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 4 x y + 2$

Ara substituïm el punt $(1, 2)$:

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) = 11$

Interpretació: aquest número és el pendent de la superfície en aquell punt si et mous només en la direcció de l'eix $y$.

Una segona derivada parcial és derivar dues vegades respecte de la mateixa variable, tractant sempre l'altra com una constant.

Primera:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - 3 y$

Segona:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$

Les segones derivades són les que decideixen si un punt crític és màxim, mínim o sella, a través del hessià $H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$.

El hessià és el criteri de la segona derivada per a dues variables: substitueix el $f''(x)$ que fas servir amb una sola variable.

Les tres segones derivades:

$f_{xx} = 2, \qquad f_{yy} = -4, \qquad f_{xy} = 0$

El hessià:

$H = (2)(-4) - (0)^2 = -8$

Com que $H < 0$, el punt $(0,0)$ és un punt de sella: puja en una direcció i baixa en l'altra, com el seient d'una cadira de muntar.

El criteri sencer: $H > 0$ i $f_{xx} > 0$ → mínim; $H > 0$ i $f_{xx} < 0$ → màxim; $H < 0$ → sella; $H = 0$ → el criteri no decideix.