Exercicis de funcions de diverses variables

Una derivada parcial és una derivada normal amb una regla afegida: l'altra variable es tracta com una constant.

Aquí derivem respecte de $x$, o sigui que $y$ es comporta com si fos un número:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x y + y^{2}$

Ara substituïm el punt $(1, 2)$:

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = 16$

Interpretació: aquest número és el pendent de la superfície en aquell punt si et mous només en la direcció de l'eix $x$.

Una derivada parcial és una derivada normal amb una regla afegida: l'altra variable es tracta com una constant.

Aquí derivem respecte de $y$, o sigui que $x$ es comporta com si fos un número:

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x y - 2$

Ara substituïm el punt $(1, 2)$:

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) = 5$

Interpretació: aquest número és el pendent de la superfície en aquell punt si et mous només en la direcció de l'eix $y$.

Una segona derivada parcial és derivar dues vegades respecte de la mateixa variable, tractant sempre l'altra com una constant.

Primera:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x + 4 y$

Segona:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 4$

Les segones derivades són les que decideixen si un punt crític és màxim, mínim o sella, a través del hessià $H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$.

Una derivada parcial és una derivada normal amb una regla afegida: l'altra variable es tracta com una constant.

Aquí derivem respecte de $x$, o sigui que $y$ es comporta com si fos un número:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x y + 2 y^{2}$

Ara substituïm el punt $(1, 2)$:

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = 20$

Interpretació: aquest número és el pendent de la superfície en aquell punt si et mous només en la direcció de l'eix $x$.

Una derivada parcial és una derivada normal amb una regla afegida: l'altra variable es tracta com una constant.

Aquí derivem respecte de $y$, o sigui que $x$ es comporta com si fos un número:

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} + 4 x y + 1$

Ara substituïm el punt $(1, 2)$:

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) = 12$

Interpretació: aquest número és el pendent de la superfície en aquell punt si et mous només en la direcció de l'eix $y$.

Una segona derivada parcial és derivar dues vegades respecte de la mateixa variable, tractant sempre l'altra com una constant.

Primera:

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x - 2 y$

Segona:

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2$

Les segones derivades són les que decideixen si un punt crític és màxim, mínim o sella, a través del hessià $H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$.

Una derivada parcial és una derivada normal amb una regla afegida: l'altra variable es tracta com una constant.

Aquí derivem respecte de $x$, o sigui que $y$ es comporta com si fos un número:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x y + 2 y^{2}$

Ara substituïm el punt $(1, 2)$:

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = 20$

Interpretació: aquest número és el pendent de la superfície en aquell punt si et mous només en la direcció de l'eix $x$.

Una derivada parcial és una derivada normal amb una regla afegida: l'altra variable es tracta com una constant.

Aquí derivem respecte de $y$, o sigui que $x$ es comporta com si fos un número:

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} + 4 x y + 2$

Ara substituïm el punt $(1, 2)$:

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) = 13$

Interpretació: aquest número és el pendent de la superfície en aquell punt si et mous només en la direcció de l'eix $y$.

Una segona derivada parcial és derivar dues vegades respecte de la mateixa variable, tractant sempre l'altra com una constant.

Primera:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x - 3 y$

Segona:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 4$

Les segones derivades són les que decideixen si un punt crític és màxim, mínim o sella, a través del hessià $H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$.

Una derivada parcial és una derivada normal amb una regla afegida: l'altra variable es tracta com una constant.

Aquí derivem respecte de $x$, o sigui que $y$ es comporta com si fos un número:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x y + 2 y^{2}$

Ara substituïm el punt $(1, 2)$:

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = 20$

Interpretació: aquest número és el pendent de la superfície en aquell punt si et mous només en la direcció de l'eix $x$.